1.1　集合の内包的表記について　3項

$a：1つの集合$

$P(x)：集合に関する条件$

$\{x∈a|P(x)\}：P(x)を成り立たせる集合aの元x全体の集合$

とする．このとき外延性公理より $\{x∈a|P(x)\}$ は一意に定まる．

(証明の方針)

$∀u［u∈x←→u∈y］→ x=y$ 　

i.e.　 $［x⊂y←→y⊂x］→x=y$

$φ(x)：xに関する条件$

とする．このとき

$∀x［x∈a→φ(x)］$

である．

(1)　 $aは1番目ならばaは1個$

(2)　 $aは1個ならばaは1番目$

をいう．

(1)について

　 $a$ が1番目である，と仮定し1番目は2個すなわち $a,b$ とする．しかし，外延性公理より

$∀x［x∈a←→x∈b］→a=b$

が成立するので，1番目は1個である．したがって， $a$ は1個である．

(2)について

　 $a$ が1個である，と仮定する．このとき条件から， $a$ は1つ，すなわち1番目であるから，(2)が成立する．

　以上より，

$aは1番目 ⇔ aは1個$

であるので

$a:=\{x∈a|P(x)\}$

は一意に定まる．