定義 1.3.1 構造 構造とは，対である．但し はの各記号に次のようなを対応させる写像である： 1. -変数関係記号に対し，は上の-項関係，すなわちである． 2. -変数関数記号に対しは上の-項関数すなわちである． 3. とくに定数に対し，はの元である． は通常…

主張 空でない帰納的半順序集合は極大元を有する． (証明の方針) ① i.e. 1つの元 ② 1つの集合 ③ < ：半順序集合 ④ i.e. < < ⑤ i.e. 1つの元 ⑥ i.e. とする．このときが極大元すなわち となるようなをもつことを示す．そのために，反射的閉包及び非反射的閉包…

1. 関係が反射的である，とする．このときである． (証明の方針) は反射的であるのでである．すなわち．したがって，反射的関係を得る． 2. 関係が非反射的である，とする．このときである． (証明の方針) との定義をそのまま用いればよい．は非反射的である…

とする．このとき が全単射であること を示す． (証明の方針) 関数のかたち とする． ① が全射であること ② が単射であること ①について を示したい．そのために を示せば十分である．また，関数のかたちに注視すると でありは加法で閉じているから と書ける…

とする．このときの逆関数 は自由変数 は ① で与えられる． ①について 何のか？ との何れか大きい方． 例 のとき とより

補題 1.1.1 可算集合の有限列全体も可算である． (証明の方針) まず，可算集合としてを考える．このとき次のような関数が ① 全射 あるいは ② 単射 であることを示す．但し 関数について からへの関数 ：1つの集合族(で添字付けられた列) に対して からへの関…

とする．このとき順序対は次の性質をもつ． (証明の方針) まず，を仮定する．次に (ⅰ) (ⅱ) を示す． (ⅰ)について をいう． 1 (1) 前提 2 (2) 仮定 ☆ ☆ 仮定よりは存在するので(2)の仮定は許される． 1 (3) 1-2. →-導入 (ⅱ)も同様である． 以上より順序対の性…

とする．このとき外延性公理よりは一意に定まる． (証明の方針) 外延性公理 i.e. 部分集合の表記 とする．このとき である． (1) (2) をいう． (1)について が1番目である，と仮定し1番目は2個すなわちとする．しかし，外延性公理より が成立するので，1番目…