s.t. (非交換) とする．このときは唯一つ存在する． (証明の方針) ∀-除去 ∀-除去 ① が1番目であることを仮定する(順序数)．このとき 1番目は複数あっても構わない を示す． に対して 平行移動 を行う．他方，について 平行移動 であるから が成立する．仮定…

∀-除去 ∀-除去 ∀-除去 と置く． (1) ベクトルをそれぞれを用いて表せ． (証明の方針) ① に対して 平行移動 と置けば i.e. で表される．仮定はないので∀-導入可能であるから ∀-導入 を得る． ② に対して 平行移動 と置けば i.e. と成る．仮定はないから∀-導入…

とする．このとき (1) (2) である． (証明の方針) 仮定 とする． (1)について に対して 平行移動 である．ここで と置けば を得る．したがって ∃-導入，∃-除去 が成立する． (2)について よりであるから ∃-導入，∃-除去 が成り立つ．

とする．このとき である． (証明の方針) ∀-除去 ∀-除去 とする．このときに対して 平行移動 である．一方について 平行移動 と成る．これらは仮定に依存していないので，直ちに∀-導入可能である．したがって を得る． ☆ が成立するのはのときに限る．すなわ…

(ア) (イ) が成立する． (証明の方針) ∀-除去 仮定 仮定 とする． (イ)について に対して，平行移動をして和を で表す．ここでと置けば したがって ∃-導入，∃-除去，∀-導入 が成立する． (ア)について 一方，について 平行移動 和 いま(ア)のに関して と置け…

とする．このとき零ベクトルは次の性質をもつ． (ア) (イ) (証明の方針) ∀-除去 仮定 に対して平行移動をして和を考えると である．ここで と置けば を得る． 一方，に対して平行移動 i.e. ベクトルの性質 により である．したがって∃-導入，∃-除去により∀-…

問題 省略 (解答の方針) とする．このとき重力は ☆ で表される．いま ∀-除去，仮定 という操作をすると，条件から という値を考えられる．これよりについて一次方程式を解く． i.e. である．したがって を得る．与えられた存在判断は変形(消去)されているの…

とする．このとき結合律 が成立する． (証明の方針) を選ぶ(∀-除去)．このとき について両辺が一致することを示す． ① について に対して次のような平行移動 をし和をとる．すなわち である．そして に対して再び平行移動 を考えると和の定義より と表示でき…

とする．このとき ① ② を考える．しかし，このままでは合成できない．①では存在量化されているのに，②で全称量化されているからだ．そこで一旦，パラメタで考えてみる． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 4 (4) 前提 4 (5) 4. ∀-除去 6 (6) 仮定 この…

定義1 i.e. i.e. とする．このとき これをベクトルと呼ぶ．とくにで表す．また，ベクトルの始点を以外に平行移動したものを，元のベクトルと同一視する． 定義2 パラメタベクトルの束縛 i.e. s.t. i.e. ここで，式(文)が∀∃型なのは「s.t.」の性質より，たと…

とする．このとき (ア) (イ) (ウ) が成立する． (証明の方針) (ア)について とは？ i.e. i.e. であるから i.e. を示せばよい．の定義より < をとればよい． ☆ 都合によりを構成すればで考えることもできる．これより，絶対値を考えるときは > あるいは < の…

とする．このとき以下のように実数の絶対値を定める： ① > ② < ③ 但し，①から③は山積みである(選言でも連言でもない)．これから選言と連言を使わないで数学を書いてみたい．とくに③に関して，単称判断は全称判断に含まれる，と解釈した(伝統的論理学からの要…

とする． 判断 (証明の方針) を示せば，反射的閉包の性質によりがいえる．それゆえ を示す． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 (3)は(2)の条件をみたすのでこの仮定は妥当である． 1 (4) 2-3. ⇒-導入 1 (5) 4. ∀-導入 判断 (証明の方針) 1 (1) 前提 1 …

とする．このときととの共通部分とは である． の証明 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 i.e. しかし，空集合の性質はであるから，ととに共通の元は無い(共通性は無い)． 1 (3) 2. 1 (4) 3. ∀-導入

4項 等号関係と包含関係の両立性

定義 1.3.1 構造 構造とは，対である．但し はの各記号に次のようなを対応させる写像である： 1. -変数関係記号に対し，は上の-項関係，すなわちである． 2. -変数関数記号に対しは上の-項関数すなわちである． 3. とくに定数に対し，はの元である． は通常…

主張 空でない帰納的半順序集合は極大元を有する． (証明の方針) ① i.e. 1つの元 ② 1つの集合 ③ < ：半順序集合 ④ i.e. < < ⑤ i.e. 1つの元 ⑥ i.e. とする．このときが極大元すなわち となるようなをもつことを示す．そのために，反射的閉包及び非反射的閉包…

1. 関係が反射的である，とする．このときである． (証明の方針) は反射的であるのでである．すなわち．したがって，反射的関係を得る． 2. 関係が非反射的である，とする．このときである． (証明の方針) との定義をそのまま用いればよい．は非反射的である…

とする．このとき が全単射であること を示す． (証明の方針) 関数のかたち とする． ① が全射であること ② が単射であること ①について を示したい．そのために を示せば十分である．また，関数のかたちに注視すると でありは加法で閉じているから と書ける…

とする．このときの逆関数 は自由変数 は ① で与えられる． ①について 何のか？ との何れか大きい方． 例 のとき とより

補題 1.1.1 可算集合の有限列全体も可算である． (証明の方針) まず，可算集合としてを考える．このとき次のような関数が ① 全射 あるいは ② 単射 であることを示す．但し 関数について からへの関数 ：1つの集合族(で添字付けられた列) に対して からへの関…

とする．このとき順序対は次の性質をもつ． (証明の方針) まず，を仮定する．次に (ⅰ) (ⅱ) を示す． (ⅰ)について をいう． 1 (1) 前提 2 (2) 仮定 ☆ ☆ 仮定よりは存在するので(2)の仮定は許される． 1 (3) 1-2. →-導入 (ⅱ)も同様である． 以上より順序対の性…

とする．このとき外延性公理よりは一意に定まる． (証明の方針) 外延性公理 i.e. 部分集合の表記 とする．このとき である． (1) (2) をいう． (1)について が1番目である，と仮定し1番目は2個すなわちとする．しかし，外延性公理より が成立するので，1番目…