人間社会ならば法とは何かという問題がある 他分野(医学や化学)ならばこのような状況はみられない と置く．このとき (1) (2) TTTT ① TTTF ②TTFT ③TTFF ④TFTT ⑤TFTF ⑥TFFT ⑦ TFFF ⑧ FTTT ⑨FTTF ⑩FTFT ⑪FTFF ⑫FFTT ⑬FFTF ⑭FFFT ⑮FFFF ⑯ で可能世界を考える． (…

① この本は主に分析哲学を扱っていると考えられるが，記述社会学と捉えてもよい． ② 言葉の意味を研究することは，言葉だけを明らかにすることではない． ③ 言葉を研究するということは，その言葉が使われている社会を考える必要があるからである．

① 伝統的論理学とはアリストテレスの論理学と中世に発展したその発展形態のことである． ② 現代論理学はこのような伝統的論理学からの脱却と，継承をするという面がある． ③ インドや中国にも論理学はあったが，日本で紹介される論理学は西洋のものが多い．

① 法，強制，道徳は互いに関連し，共通点も多い． ② 日常的には「せざるを得ない」は義務ともいえるが，これは法的に「責務を負う」とどう違うのか． ③ 法律違反をした仲間内のルールとは何か． ④ ルールを守るが法律を守らない，ということはあり得るのか．…

とする．このとき関数について をそれぞれ計算せよ． (1) (2) (解答の方針) (1)について ∀-除去 ① より ∀-導入 である． ② より ∀-導入 と書ける． (2)について ∀-除去 ① より ∀-導入 で表される． ② より ∀-導入 を得る．

とする．このとき，関数に対して をそれぞれ計算せよ． (1) (2) (解答の方針) (1)について ∀-除去 ① 仮定はないので∀-導入可能であるから ∀-導入 を得る． ② 仮定はないので∀-導入可能であるから ∀-導入 である． ③ 仮定はないので∀-導入可能であるから ∀-導…

など など とする．このとき ☆ という関係が成立する．これらは何れもパラメタである．そこで対応記号 に基づいてパラメタを量化すれば と書ける． ☆は という計算公式である．あとは ① ∃-仮定を落とせるか ② ∀-導入可能か(①や前提外のその他の仮定が落とさ…

ベクトルに関して とする．このとき が成立する． (証明の方針) ∀-除去 とする．このとき，の逆ベクトルは ∃-仮定 である．いま，に対して 平行移動 を行う．他方，に関しての倍は であり と置き，ここで とすれば である．そして∃-導入，∃-除去を適用すれば…

とする．このとき (1) (2) (3) (4) () が成立する． (証明の方針) ∀-除去 ∀-除去 ∀-除去 を考える． (1)について 左辺 に対して 平行移動 いま と置けば で表すことができる．他方 右辺 について に対して と置く．に対して 平行移動 で書ける．ここでたとえ…

とする． (1) (証明の方針) ∀-除去 ∀-除去 ∀-除去 に対して与式の両辺が一致することを示す． 左辺 に対して 平行移動 和 である．いま と置けば で表される．他方 右辺 に対して と置換すれば 平行移動 和 のように表示できる．したがって左辺と右辺は一致…

s.t. (非交換) とする．このときは唯一つ存在する． (証明の方針) ∀-除去 ∀-除去 ① が1番目であることを仮定する(順序数)．このとき 1番目は複数あっても構わない を示す． に対して 平行移動 を行う．他方，について 平行移動 であるから が成立する．仮定…

∀-除去 ∀-除去 ∀-除去 と置く． (1) ベクトルをそれぞれを用いて表せ． (証明の方針) ① に対して 平行移動 と置けば i.e. で表される．仮定はないので∀-導入可能であるから ∀-導入 を得る． ② に対して 平行移動 と置けば i.e. と成る．仮定はないから∀-導入…

とする．このとき (1) (2) である． (証明の方針) 仮定 とする． (1)について に対して 平行移動 である．ここで と置けば を得る．したがって ∃-導入，∃-除去 が成立する． (2)について よりであるから ∃-導入，∃-除去 が成り立つ．

とする．このとき である． (証明の方針) ∀-除去 ∀-除去 とする．このときに対して 平行移動 である．一方について 平行移動 と成る．これらは仮定に依存していないので，直ちに∀-導入可能である．したがって を得る． ☆ が成立するのはのときに限る．すなわ…

(ア) (イ) が成立する． (証明の方針) ∀-除去 仮定 仮定 とする． (イ)について に対して，平行移動をして和を で表す．ここでと置けば したがって ∃-導入，∃-除去，∀-導入 が成立する． (ア)について 一方，について 平行移動 和 いま(ア)のに関して と置け…

とする．このとき零ベクトルは次の性質をもつ． (ア) (イ) (証明の方針) ∀-除去 仮定 に対して平行移動をして和を考えると である．ここで と置けば を得る． 一方，に対して平行移動 i.e. ベクトルの性質 により である．したがって∃-導入，∃-除去により∀-…

問題 省略 (解答の方針) とする．このとき重力は ☆ で表される．いま ∀-除去，仮定 という操作をすると，条件から という値を考えられる．これよりについて一次方程式を解く． i.e. である．したがって を得る．与えられた存在判断は変形(消去)されているの…

とする．このとき結合律 が成立する． (証明の方針) を選ぶ(∀-除去)．このとき について両辺が一致することを示す． ① について に対して次のような平行移動 をし和をとる．すなわち である．そして に対して再び平行移動 を考えると和の定義より と表示でき…

とする．このとき ① ② を考える．しかし，このままでは合成できない．①では存在量化されているのに，②で全称量化されているからだ．そこで一旦，パラメタで考えてみる． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 4 (4) 前提 4 (5) 4. ∀-除去 6 (6) 仮定 この…

定義1 i.e. i.e. とする．このとき これをベクトルと呼ぶ．とくにで表す．また，ベクトルの始点を以外に平行移動したものを，元のベクトルと同一視する． 定義2 パラメタベクトルの束縛 i.e. s.t. i.e. ここで，式(文)が∀∃型なのは「s.t.」の性質より，たと…

とする．このとき (ア) (イ) (ウ) が成立する． (証明の方針) (ア)について とは？ i.e. i.e. であるから i.e. を示せばよい．の定義より < をとればよい． ☆ 都合によりを構成すればで考えることもできる．これより，絶対値を考えるときは > あるいは < の…

とする．このとき以下のように実数の絶対値を定める： ① > ② < ③ 但し，①から③は山積みである(選言でも連言でもない)．これから選言と連言を使わないで数学を書いてみたい．とくに③に関して，単称判断は全称判断に含まれる，と解釈した(伝統的論理学からの要…

とする． 判断 (証明の方針) を示せば，反射的閉包の性質によりがいえる．それゆえ を示す． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 (3)は(2)の条件をみたすのでこの仮定は妥当である． 1 (4) 2-3. ⇒-導入 1 (5) 4. ∀-導入 判断 (証明の方針) 1 (1) 前提 1 …

とする．このときととの共通部分とは である． の証明 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 i.e. しかし，空集合の性質はであるから，ととに共通の元は無い(共通性は無い)． 1 (3) 2. 1 (4) 3. ∀-導入

4項 等号関係と包含関係の両立性

定義 1.3.1 構造 構造とは，対である．但し はの各記号に次のようなを対応させる写像である： 1. -変数関係記号に対し，は上の-項関係，すなわちである． 2. -変数関数記号に対しは上の-項関数すなわちである． 3. とくに定数に対し，はの元である． は通常…

主張 空でない帰納的半順序集合は極大元を有する． (証明の方針) ① i.e. 1つの元 ② 1つの集合 ③ < ：半順序集合 ④ i.e. < < ⑤ i.e. 1つの元 ⑥ i.e. とする．このときが極大元すなわち となるようなをもつことを示す．そのために，反射的閉包及び非反射的閉包…

1. 関係が反射的である，とする．このときである． (証明の方針) は反射的であるのでである．すなわち．したがって，反射的関係を得る． 2. 関係が非反射的である，とする．このときである． (証明の方針) との定義をそのまま用いればよい．は非反射的である…

とする．このとき が全単射であること を示す． (証明の方針) 関数のかたち とする． ① が全射であること ② が単射であること ①について を示したい．そのために を示せば十分である．また，関数のかたちに注視すると でありは加法で閉じているから と書ける…

とする．このときの逆関数 は自由変数 は ① で与えられる． ①について 何のか？ との何れか大きい方． 例 のとき とより