日記

共通部分の性質　9項

新井敏康『(基幹講座数学)集合・論理と位相』東京図書 2016

$A,B,C,......：集合(パラメタ)$

$a,b,c,......：束縛変数$

$a_0,a_1,...,b_0,b_1,......：集合の元(パラメタ)$

とする．

判断　 $A∩A=A$

(証明の方針)

　 $A∩A⊆A$ を示せば，反射的閉包の性質により $A∩A=A$ がいえる．それゆえ

$∀x［x∈A\leftrightarrow x∈A］\vdash ∀x［x∈A\leftrightarrow x∈A⇒x∈A］$

を示す．

1　(1)　 $∀x［x∈A\leftrightarrow x∈A］$ 　　前提

1　(2)　 $x_0∈A\leftrightarrow x_0∈A$ 　　1. ∀-除去

3　(3)　 $x_0∈A$ 　仮定

(3)は(2)の条件をみたすのでこの仮定は妥当である．

1　(4)　 $x_0∈A\leftrightarrow x_0∈A⇒x_0∈A$ 　　2-3. ⇒-導入

1　(5)　 $∀x［x∈A\leftrightarrow x∈A⇒x∈A］$ 　　4. ∀-導入

判断　 $(A∩B)∩C=A∩(B∩C)$

(証明の方針)

$∀x［x∈(A∩B)∩C］\vdash ∀x［x∈(A∩B)∩C⇒x∈A∩(B∩C)］$

1　(1)　 $∀x［x∈(A∩B)∩C］$ 　　　前提

1　(2)　 $(x_0∈A\leftrightarrow x_0∈B)\leftrightarrow x_0∈C$ 　　1. ∀-除去

3　(3)　 $x_0∈A\leftrightarrow (x_0∈B\leftrightarrow x_0∈C)$ 　　仮定

(2)は $A$ と $B$ の共通元は $C$ の元と共通である．すなわち $A,B,C$ は共通元をもつ．

(3)は $A$ の元は $B$ と $C$ の共通元に共通である，これは(2)に反しない．したがって，(3)の仮定は妥当である．

1　(4)　 $(x_0∈A\leftrightarrow x_0∈B)\leftrightarrow x_0∈C⇒x_0∈A\leftrightarrow (x_0∈B\leftrightarrow x_0∈C)$

1　(5)　 $∀x［x∈(A∩B)∩C⇒x∈A∩(B∩C)$ 　　4. ∀-導入

$A∩B=B∩A$ 　交換律

(証明の方針)

$∀x［x∈A∩B］\vdash ∀x［x∈A∩B⇒x∈B∩A］$

1　(1)　 $∀x［x∈A∩B］$ 　　前提

1　(2)　 $x_0∈A\leftrightarrow x_0∈B$ 　　1. ∀-除去

3　(3)　 $x_0∈B\leftrightarrow x_0∈A$ 　　仮定

(2)は $A$ と $B$ は共通元をもつ，と読める．これに対して(3)は $B$ と $A$ は共通元をもつ，と読める．両者は同義であると考えられるので，この仮定は妥当である．

1　(4)　 $x_0∈A\leftrightarrow x_0∈B⇒x_0∈B\leftrightarrow x_0∈A$ 　　2-3. ⇒-導入

1　(5)　 $∀x［x∈A∩B⇒x∈B∩A］$ 　　4. ∀-導入

$B∩C⊆B\leftrightarrow B∩C⊆C$

(証明の方針)

　反射的閉包の性質より

$B∩C⊆B⇒B∩C=B$

$B∩C⊆C⇒B∩C=C$

を得る．したがって， $B=C$ であるから

$B∩C⊆B\leftrightarrow B∩C⊆C$

も成立する．

$A⊆B∩C⇔A⊆B\leftrightarrow A⊆C$

(証明の方針)

　反射的閉包の性質より

$A=B∩C⇔A=B\leftrightarrow A=C$

を示す．

(⇒)

　 $A=B∩C$ を前提にする． $B∩C⊆B$ すなわち $B∩C=B$ であるから $A=B$ である．同様にして $B∩C=C$ であるので $A=C$ を得る．したがって， $B=C$ より

$A=B\leftrightarrow A=C$

を成す．

(⇐)

　 $A=B\leftrightarrow A=C$ を前提とし $A∩A,B∩C$ を考えると

$A∩A=B∩C=A$

であるから $A=B∩C$ が成立する．