補題 1.1.8　逆ベクトルの一意性　11項

$K：二次元平面あるいは三次元空間$

$∀\mathbf{v}∈K∃\mathbf{w}∈K$ 　s.t.　 $\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{0}$ 　(非交換)

とする．このとき $\mathbf{w}$ は唯一つ存在する．

(証明の方針)

$\mathbf{w}_0:=\overrightarrow{V_0O}$ 　　∀-除去

$\mathbf{w}_1:=\overrightarrow{V_1O}$ 　　∀-除去

①　 $\mathbf{w}$ が1番目であることを仮定する(順序数)．このとき

$\overrightarrow{V_0O}=\overrightarrow{V_1O}$ 　　1番目は複数あっても構わない

を示す．

$\overrightarrow{V_0O},\overrightarrow{V_1O}$ に対して

$\overrightarrow{V_1O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

を行う．他方， $\overrightarrow{V_1O},\overrightarrow{V_0O}$ について

$\overrightarrow{V_0O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

であるから

$\overrightarrow{V_0O}=\overrightarrow{V_1O}$

が成立する．仮定はないので∀-導入可能である．

②　 $\mathbf{w}$ が1個であることを仮定する(計量数)．

$∃w［w∈K］$ について $\mathbf{w}_0$ を1番目と指定すればよい．

以上より $\mathbf{w}$ が

1番目⇔1個

であることが示された．

☆唯一つ存在する基点 $O$ について $O'$ は2番目の基点と考える．