日記

問 1.1.6　8項

木村俊一『(基幹講座数学)線型代数』東京図書 2018

$OABC：四面体$

$\mathbf{a}_0:=\overrightarrow{OA_0}$ 　　∀-除去

$\mathbf{b}_0:=\overrightarrow{OB_0}$ 　　∀-除去

$\mathbf{c}_0:=\overrightarrow{OC_0}$ 　　∀-除去

と置く．

(1)　ベクトル $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}$ をそれぞれ $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ を用いて表せ．

(証明の方針)

①　 $\overrightarrow{AB}$

　 $\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{A_0O}$ に対して

$\overrightarrow{A_0O}=\overrightarrow{A_0O'}$ 　　平行移動

$O':=B_0$

と置けば

$\overrightarrow{A_0O}=\overrightarrow{A_0B_0}$ 　i.e.　 $-\mathbf{a}_0=\overrightarrow{A_0B_0}$

で表される．仮定はないので∀-導入可能であるから

$-\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}$ 　　∀-導入

を得る．

②　 $\overrightarrow{BC}$

　 $\overrightarrow{OB_0},\overrightarrow{B_0O}$ に対して

$\overrightarrow{B_0O}=\overrightarrow{B_0O'}$ 　　平行移動

$O':=C_0$

と置けば

$\overrightarrow{B_0O}=\overrightarrow{B_0C_0}$ 　i.e.　 $-\mathbf{b}_0=\overrightarrow{B_0C_0}$

と成る．仮定はないから∀-導入可能で

$-\mathbf{b}=\overrightarrow{BC}$ 　　∀-導入

と書ける．

③　 $\overrightarrow{CA}$

　 $\overrightarrow{OC_0},\overrightarrow{C_0O}$ に対して

$\overrightarrow{C_0O}=\overrightarrow{C_0O'}$ 　　平行移動

$O':=A_0$

と置けば

$\overrightarrow{C_0O}=\overrightarrow{C_0A_0}$ 　i.e.　 $-\mathbf{c}_0=\overrightarrow{C_0A_0}$

と表示される．仮定はないから∀-導入可能で

$-\mathbf{c}=\overrightarrow{CA}$ 　　∀-導入

で書ける．

(2)　(1)で求めたものの和が零ベクトルになることを示せ．

$-\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{c}=\mathbf{0}$

をいう．

①　 $-\mathbf{a}-\mathbf{b}$

　 $-\mathbf{a}_0=\overrightarrow{A_0B_0},-\mathbf{b}_0=\overrightarrow{B_0C_0}$ に対して

$\overrightarrow{A_0C_0}=\mathbf{c}_0$

で表す．仮定はないので∀-導入可能であるから

$-\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{c}$ 　　∀-導入

と成る．

②　 $\mathbf{c}-\mathbf{c}$

$\mathbf{c}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}$

$-\mathbf{c}=\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CO}$

であるから

$\mathbf{c}_0-\mathbf{c}_0=\overrightarrow{OO}=\mathbf{0}_0$

と成る．仮定はないので∀-導入可能である．

以上より

$-\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{c}=\mathbf{0}$ 　　∀-導入

がわかる．