日記

命題 1.1.9　ベクトルのスカラー倍　(1)から(4)　11項

木村俊一『(基幹講座数学)線型代数』東京図書 2018

$K：二次元平面あるいは三次元空間$

$∀\mathbf{a},\mathbf{b}［\mathbf{a},\mathbf{b}∈K］$

$∀c,d［c,d∈\mathbb{R}］$

とする．このとき

(1)　 $c(\mathbf{a}+\mathbf{b})=c\mathbf{a}+c\mathbf{b}$

(2)　 $(c+d)\mathbf{a}=c\mathbf{a}+d\mathbf{a}$

(3)　 $(cd)\mathbf{a}=c(d\mathbf{a})$

(4)　 $1\mathbf{a}=\mathbf{a}$ 　　( $1∈\mathbb{R}$ )

が成立する．

(証明の方針)

$\mathbf{a}_0:=\overrightarrow{A_0O}$ 　　∀-除去

$\mathbf{b}_0:=\overrightarrow{B_0O}$ 　　∀-除去

$c_0,d_0∈\mathbb{R}$ 　　∀-除去

を考える．

(1)について

左辺

　 $\overrightarrow{A_0O},\overrightarrow{B_0O}$ に対して

$\overrightarrow{B_0O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

$\mathbf{a}_0+\mathbf{b}_0=\overrightarrow{OO'}$

いま

$\overrightarrow{OO'}:=c_0\overrightarrow{(OO')}:=c_0(\mathbf{a}_0+\mathbf{b}_0)$

と置けば

$c_0(\mathbf{a}_0+\mathbf{b}_0)=\overrightarrow{OO'}$

で表すことができる．他方

右辺

　 $c_0\mathbf{a}_0$ について

$\overrightarrow{A_1O}:=c_0(\overrightarrow{A_0O})$

$c_0\mathbf{b}_0$ に対して

$\overrightarrow{B_1O}:=c_0(\overrightarrow{B_0O})$

と置く． $\overrightarrow{A_1O},\overrightarrow{B_1O}$ に対して

$\overrightarrow{B_1O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

$c_0\mathbf{a}_0+c_0\mathbf{b}_0=\overrightarrow{OO'}$

で書ける．ここでたとえば， $O':=A_2$ と置くと $左辺=右辺$ が成立する．そして仮定はないので∀-導入可能である．したがって

$c(\mathbf{a}+\mathbf{b})=c\mathbf{a}+c\mathbf{b}$ 　　∀-導入

と成る．

(2)について

左辺

$\overrightarrow{A_1O}:=c_0+d_0\overrightarrow{A_0O}$

と置く． $\overrightarrow{A_1O},\overrightarrow{A_1O}$ に対して

$\overrightarrow{A_1O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

で表す．

右辺

$\overrightarrow{A_2O}:=c_0\mathbf{a}_0$

$\overrightarrow{A_3O}:=d_0\mathbf{a}_0$

と置き，平行移動

$\overrightarrow{A_3O}=\overrightarrow{OO'}$

を施して和をとれば

$c_0\mathbf{a}_0+d_0\mathbf{a}_0=\overrightarrow{OO'}$

で表示することができる．たとえば $O':=A_4$ と置くと $左辺=右辺$ が成り立つ．そして，仮定はないので∀-導入可能であるから

$(c+d)\mathbf{a}=c\mathbf{a}+d\mathbf{a}$ 　　∀-導入

を得る．

(3)について

左辺

$\overrightarrow{A_1O}:=(c_0d_0)\mathbf{a}_0$

と置く．このとき $\overrightarrow{A_1O},\overrightarrow{A_1O}$ に対して

$\overrightarrow{A_1O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

を行う．

右辺

$\overrightarrow{A_2O}:=c_0(d_0\mathbf{a}_0)$

と置き， $\overrightarrow{A_2O},\overrightarrow{A_2O}$ について

$\overrightarrow{A_2O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

を施す．ここでたとえば $O':=A_3$ と置けば $左辺=右辺$ と成る．そして，仮定はないので∀-導入可能であるから

$(cd)\mathbf{a}=c(d\mathbf{a})$ 　　∀-導入

が成立する．

(4)について

$\overrightarrow{A_0O}:=1\mathbf{a}_0$

と置く．このとき $\overrightarrow{A_0O},\overrightarrow{A_0O}$ に対して

$\overrightarrow{A_0O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

である．たとえば $O':=A_0$ と置くと

$\overrightarrow{A_0O}=\overrightarrow{OA_0}$ 　i.e.　 $1\mathbf{a}_0=\mathbf{a}_0$

を成す．いま，仮定はないので∀-導入可能である．したがって

$1\mathbf{a}=\mathbf{a}$ 　　∀-導入

が成立する．