系 1.1.10　13項

　ベクトルに関して

$(-1)\mathbf{a}：実数-1によるスカラー倍$

$-\mathbf{a}：\mathbf{a}の逆ベクトル$

とする．このとき

$(-1)\mathbf{a}=-\mathbf{a}$

が成立する．

(証明の方針)

$\mathbf{a}_0:=\overrightarrow{OA_0}$ 　　∀-除去

とする．このとき， $\mathbf{a}_0$ の逆ベクトルは

$-\mathbf{a}_0:=\overrightarrow{A_0O}$ 　　∃-仮定

である．いま， $\overrightarrow{A_0O},\overrightarrow{A_0O}$ に対して

$\overrightarrow{A_0O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

を行う．他方， $\mathbf{a}_0$ に関して $\mathbf{a}_0$ の $-1$ 倍は

$(-1)\mathbf{a}_0=(-1)\overrightarrow{OA_0}$

であり

$\overrightarrow{OA_1}:=(-1)\overrightarrow{OA_0}$

と置き，ここで

$O':=A_1$

とすれば

$\overrightarrow{A_0O}=\overrightarrow{OA_1}$

である．そして∃-導入，∃-除去を適用すれば

$\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{AO}$

と成る．これより仮定はないので，∀-導入可能である．したがって

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AO}$ 　i.e.　 $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AO}$ 　i.e.　 $(-1)\mathbf{a}=-\mathbf{a}$

が成立する．

☆　 $\overrightarrow{OA_1}$ は $\overrightarrow{OA_0}$ から派生したものなので， $\overrightarrow{OA_1}$ に対して∀-導入を適用する．