定義 1.3.1　構造　21項

新井敏康『数学基礎論(増補版)』 東京大学出版会 2021　

定義 1.3.1　構造

L構造とは，対 \mathcal{M}:=〈M, F〉である．但し

M：1つの集合

M≠\varnothing

Fは Lの各記号 αに次のような α^{\mathcal{M}}=F(α)を対応させる写像である：

F:L→M

α\mapsto α^{\mathcal{M}}

1.　 n-変数関係記号 R∈Lに対し， R^{\mathcal{M}}は M上の n-項関係，すなわち R^{\mathcal{M}}⊆M^nである．

F_1:L→M

R\mapsto R^{\mathcal{M}}

R^{\mathcal{M}}=F_1(R)

2.　 n-変数関数記号 f∈Lに対し f^{\mathcal{M}}は M上の n-項関数すなわち f^n:M^n→Mである．

F_2:L→M

f\mapsto f^{\mathcal{M}}

f^{\mathcal{M}}=F_2(f)

3.　とくに定数 c∈Lに対し， c^{\mathcal{M}}は Mの元 c^{\mathcal{M}}∈Mである．

F_3:L→M

c\mapsto c^{\mathcal{M}}

c^{\mathcal{M}}=F_3(c)

　 \mathcal{M}は通常， 〈M; R^{\mathcal{M}},...,f^{\mathcal{M}},...,c^{\mathcal{M}},...〉と書き表し， |\mathcal{M}|:=Mを構造 \mathcal{M}の対象領域という．

  • 例

　アーベル群の言語 Lについて， L:=\{+,-,0\}と置く．このとき L-構造は，組 \mathcal{M}:=〈M; +^{\mathcal{M}},-^{\mathcal{M}},0^{\mathcal{M}}〉である．但し

M：1つの集合

M≠\varnothing

+^{\mathcal{M}}：M上の二項演算

-^{\mathcal{M}}：M上の一項演算

0^{\mathcal{M}}∈M：定数

である．数学では \mathcal{M}と Mは Gで表す．

F_1:L→M

+\mapsto +^{\mathcal{M}}

F_2:L→M

-\mapsto -^{\mathcal{M}}

F_3:L→M

0\mapsto 0^{\mathcal{M}}