日記

補題 1.1.9　ツォルンの補題　12項

新井敏康『数学基礎論(増補版)』東京大学出版会 2021　

$A,B,C,......：1つの集合$

主張

　空でない帰納的半順序集合は極大元を有する．

(証明の方針)

①　 $A≠\varnothing$ 　i.e.　 $a∈A$ 　1つの元

②　 $A：帰納的半順序集合$ 　1つの集合

③　 $〈A,$ < $〉$ ：半順序集合

④　 $∀C⊆A：鎖$ 　i.e.　 $∀x,y∈C［x$ < $y→y$ < $x］$

⑤　 $C≠\varnothing$ 　i.e.　 $a∈C$ 　1つの元

⑥　 $\sup C$ 　i.e.　 $C:=\{x|∀x∈C［x≤a］\}$ 　　 $\sup C:=\min C$

とする．このとき $A$ が極大元すなわち

$a∈C$

$∀x∈C［a\nless x］$

となるような $a$ をもつことを示す．そのために，反射的閉包及び非反射的閉包を考える．

閉包

$R_=(x,y):⇔R(x,y)→x=y$

$R_≠(x,y):⇔R(x,y)←→x≠y$

関係

$R_≤(x,y):⇔x≤y→x=y$

$R_≨(x,y):⇔x$ < $y←→x≠y$

　このとき， $∀x∈C［a\nless x］$ に対して $x$ < $y←→x≠y$ より

$x\nless y←→￢(x≠y)$ 　i.e.　 $x=y$

であるから

$∀x∈C［x=a］$

を示せばよい．条件より， $\sup C$ が存在するので $∀x∈C［x≤a］$ について，反射的閉包の性質から

$x≤a→x=a$

を得る．したがって， $A$ は極大元をもつ．