幾何ベクトルの定義　5項

定義1

$E：二次元平面$

$F：三次元空間$

$EとFを合わせて考える集合をKと定める．$

$A_0,A_1,B_0,B_1,......：点(パラメタ)$

$P：K上の任意の点$ 　i.e.　 $∀P［P∈K］$

$O：基点(原点)$ 　i.e.　 $∃!O［O∈K］$

とする．このとき

$\overrightarrow{OP}：始点Oから終点Pへの線分$

これをベクトルと呼ぶ．とくに $\overrightarrow{OO}は零ベクトルといい，\mathbf{0}$ で表す．また，ベクトルの始点を $O$ 以外に平行移動したものを，元のベクトルと同一視する．

定義2　パラメタベクトルの束縛

$∀P=［A_0,B_0,C_0］_K$

$\mathbf{a}:=\overrightarrow{OA_0}$

$\mathbf{b}:=\overrightarrow{OB_0}$

i.e.　 $∀P∈K∃!O∈K$ 　s.t.　 $\overrightarrow{OP}∈K$

i.e.　 $∀P∃!O［P∈K⇒［\overrightarrow{OP}∈K］］$

ここで，式(文)が∀∃型なのは「s.t.」の性質より，たとえば $\overrightarrow{OA_0}$ は $\overrightarrow{C_0A_0}$ でもかまわない，という意味である．つまり，始点が基点でなかったり基点がない場合もベクトルを考えられる．

ベクトルの和

ベクトル $\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OB_0}$ に対して， $\overrightarrow{OB_0}$ を $\overrightarrow{OA_0}$ の終点 $A_0$ に重なるように平行移動させる．すなわち $\overrightarrow{OB_0}=\overrightarrow{A_0B'_0}$ である．このようなベクトル $\overrightarrow{A_0B'_0}$ の終点 $B'_0$ と基点 $O$ とを結んだ $\overrightarrow{OB'_0}$ を $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ で表す．すなわち