日記

絶対値の正値性　ⅹⅲ項

砂田利一『(基幹講座数学)微分積分』東京図書 2017

$a,b,c,......：束縛変数$

$a_0,a_1,...,b_0,b_1,......：パラメタ$

$|x|：実数xの絶対値$

とする．このとき

(ア)　 $|x|=±x$

(イ)　 $|xy|=|x||y|$

(ウ)　 $|x+y|=|x|+|y|$

が成立する．

(証明の方針)

(ア)について

$±x$ とは？

$±x$ 　i.e.　 $+x∨-x$ 　i.e.　 $+x⇒-x$

であるから

$|x|=±x$ 　i.e.　 $|x|=-x$

を示せばよい． $|x|$ の定義より

$∃x∈\mathbb{R}［x$ < $0］$

をとればよい．

☆　都合により $|x|=∓$ を構成すれば $|x|=+x$ で考えることもできる．これより，絶対値を考えるときは

$∃x∈\mathbb{R}［x$ > $0］$ 　あるいは　 $∃x∈\mathbb{R}［x$ < $0］$

のみを考えればよい，ということがわかった．このことを絶対値の正値性あるいは負値性とよぶ．

(イ)について

$∃x∈\mathbb{R}［x$ > $0］$

とする．このとき

$x_0$ > $0\leftrightarrow |x_0|=x_0$ 　　仮定

$y_0$ > $0\leftrightarrow |y_0|=y_0$ 　　仮定

とすれば

$|x_0y_0|=x_0y_0$

$|x_0||y_0|=x_0y_0$

であるから

$|x_0y_0|=|x_0||y_0|$

が成立する．したがって

$∃x,y∈\mathbb{R}［|xy|=|x||y|］$ 　　∃-導入，∃-除去

と成る．

(ウ)について

$∃x,y∈\mathbb{R}［|x+y|=|x|+|y|］$

を示す．絶対値の正値性(仮定)より

$|x_0+y_0|=x_0+y_0$

$|x_0|+|y_0|=x_0+y_0$

であるから

$|x_0+y_0|=|x_0|+|y_0|$

により

$∃x,y∈\mathbb{R}［|x+y|=|x|+|y|］$ 　　∃-導入，∃-除去

が成り立つ．