日記

合成写像　6項

砂田利一『(基幹講座数学)微分積分』東京図書 2017

$A,B,C,......：集合(パラメタ)$

$a,b,c,......：束縛変数$

$a_0,a_1,...,b_0,b_1,......：パラメタ$

とする．このとき

①　 $f:A→B$

$x\mapsto f(x)$

$∀x∈A∃!y∈B［f(x)=y］$

②　 $g:B→C$

$y\mapsto g(y)$

$∀y∈B∃!z∈C［g(y)=z］$

$x\mapsto g(f(x))$

を考える．しかし，このままでは合成できない．①で $y$ は存在量化されているのに，②で全称量化されているからだ．そこで一旦，パラメタで考えてみる．

1　(1)　 $∀x∈A∃!y∈B［f(x)=y］$ 　　前提

1　(2)　 $∃!y∈B［f(x_0)=y］$ 　　1. ∀-除去

3　(3)　 $f(x_0)=y_0$ 　　仮定

4　(4)　 $∀y∈B∃!z∈C［g(y)=z］$ 　　前提

4　(5)　 $∃!z∈C［g(y_0)=z］$ 　　4. ∀-除去

6　(6)　 $g(y_0)=z_0$ 　　仮定

このとき $g(f(x))$ を考えると

$g(f(x_0))=g(y_0)=z_0$

6　(7)　 $g(f(x_0))=z_0$ 　　6.

6　(8)　 $∃!z∈C［g(f(x_0))=z］$ 　　7. ∃-導入

1,4 (9)　 $∃!z∈C［g(f(x_0))=z］$ 　　6-8. ∃-除去

1,4 (10)　 $∀x∈A∃!z∈C［g(f(x))=z］$ 　　9. ∀-導入

このようにして，合成写像は存在する．

例

$f,g:\mathbb{R}→\mathbb{R}$

$f(x):=3x^2+2x+1$

$g(x):=x+1$

いま

$3x^2+2x+1=y_0$

$x+1=z_0$

と仮定する．

まず， $g\circ f$ を考える． $∀x∈\mathbb{R}$ に対して

$g(f(x))=g(y_0)=y_0+1=(3x^2+2x+1)+1=3x^2+2x+2$

である．

次に， $f\circ g$ を計算する． $∀x∈\mathbb{R}$ に対して

$f(g(y_0))=f(z_0)=3z_{0}^2+2z_{0}+1=3(x+1)^2+2(x+1)+1$

$=3(x^2+2x+1)+2x+2+1=3x^2+6x^2+3+2x+2+1$

$=3x^2+8x+6$

を得る．

☆　 $y_0$ と $z_0$ を仮定したがパラメタ変形によって，両項ともに消えてしまったので，仮定も自動的に消える．