命題 1.1.5 9項

1.　関係が反射的である，とする．このときである．

(証明の方針)

　は反射的であるのでである．すなわち．したがって，反射的関係を得る．

2.　関係が非反射的である，とする．このときである．

(証明の方針)

　との定義をそのまま用いればよい．は非反射的であるので

　i.e.　　i.e.　　i.e.　非反射的関係

と書ける．

3.　関係が半順序である，とする．このときは非対称的で推移的な関係である．

(証明の方針)

　の定義よりである．反対称性より

であるからを得る．いま，とを考える．このとき，再び反対称性から

が成立する．したがって

と表示できる．

4.　関係が非対称的で推移的な関係である，とする．このときは半順序である．

(証明の方針)

①　反射的

　の定義よりと表すことができるのでは反射的である．

②　推移的

　与えられた条件に推移性があるのでは推移的である．

③　反対称的

　非対称性よりである．の定義から

　i.e.　

を得る．そしての意義よりと書ける．それゆえ→-導入より

が成立する．

• 補足

仮言に関して，仮言から選言を導出できるが選言を仮言に戻した．また，連言については同値←→で代替した．ここで使用する論理記号は￢と→のみである．