日記

系 1.1.10　13項

木村俊一『(基幹講座数学)線型代数』東京図書 2018

　ベクトルに関して

$(-1)\mathbf{a}：実数-1によるスカラー倍$

$-\mathbf{a}：\mathbf{a}の逆ベクトル$

とする．このとき

$(-1)\mathbf{a}=-\mathbf{a}$

が成立する．

(証明の方針)

$\mathbf{a}_0:=\overrightarrow{OA_0}$ 　　∀-除去

とする．このとき， $\mathbf{a}_0$ の逆ベクトルは

$-\mathbf{a}_0:=\overrightarrow{A_0O}$ 　　∃-仮定

である．いま， $\overrightarrow{A_0O},\overrightarrow{A_0O}$ に対して

$\overrightarrow{A_0O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

を行う．他方， $\mathbf{a}_0$ に関して $\mathbf{a}_0$ の $-1$ 倍は

$(-1)\mathbf{a}_0=(-1)\overrightarrow{OA_0}$

であり

$\overrightarrow{OA_1}:=(-1)\overrightarrow{OA_0}$

と置き，ここで

$O':=A_1$

とすれば

$\overrightarrow{A_0O}=\overrightarrow{OA_1}$

である．そして∃-導入，∃-除去を適用すれば

$\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{AO}$

と成る．これより仮定はないので，∀-導入可能である．したがって

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AO}$ 　i.e.　 $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AO}$ 　i.e.　 $(-1)\mathbf{a}=-\mathbf{a}$

が成立する．

☆　 $\overrightarrow{OA_1}$ は $\overrightarrow{OA_0}$ から派生したものなので， $\overrightarrow{OA_1}$ に対して∀-導入を適用する．

命題 1.1.9　ベクトルのスカラー倍　(1)から(4)　11項

木村俊一『(基幹講座数学)線型代数』東京図書 2018

$K：二次元平面あるいは三次元空間$

$∀\mathbf{a},\mathbf{b}［\mathbf{a},\mathbf{b}∈K］$

$∀c,d［c,d∈\mathbb{R}］$

とする．このとき

(1)　 $c(\mathbf{a}+\mathbf{b})=c\mathbf{a}+c\mathbf{b}$

(2)　 $(c+d)\mathbf{a}=c\mathbf{a}+d\mathbf{a}$

(3)　 $(cd)\mathbf{a}=c(d\mathbf{a})$

(4)　 $1\mathbf{a}=\mathbf{a}$ 　　( $1∈\mathbb{R}$ )

が成立する．

(証明の方針)

$\mathbf{a}_0:=\overrightarrow{A_0O}$ 　　∀-除去

$\mathbf{b}_0:=\overrightarrow{B_0O}$ 　　∀-除去

$c_0,d_0∈\mathbb{R}$ 　　∀-除去

を考える．

(1)について

左辺

　 $\overrightarrow{A_0O},\overrightarrow{B_0O}$ に対して

$\overrightarrow{B_0O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

$\mathbf{a}_0+\mathbf{b}_0=\overrightarrow{OO'}$

いま

$\overrightarrow{OO'}:=c_0\overrightarrow{(OO')}:=c_0(\mathbf{a}_0+\mathbf{b}_0)$

と置けば

$c_0(\mathbf{a}_0+\mathbf{b}_0)=\overrightarrow{OO'}$

で表すことができる．他方

右辺

　 $c_0\mathbf{a}_0$ について

$\overrightarrow{A_1O}:=c_0(\overrightarrow{A_0O})$

$c_0\mathbf{b}_0$ に対して

$\overrightarrow{B_1O}:=c_0(\overrightarrow{B_0O})$

と置く． $\overrightarrow{A_1O},\overrightarrow{B_1O}$ に対して

$\overrightarrow{B_1O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

$c_0\mathbf{a}_0+c_0\mathbf{b}_0=\overrightarrow{OO'}$

で書ける．ここでたとえば， $O':=A_2$ と置くと $左辺=右辺$ が成立する．そして仮定はないので∀-導入可能である．したがって

$c(\mathbf{a}+\mathbf{b})=c\mathbf{a}+c\mathbf{b}$ 　　∀-導入

と成る．

(2)について

左辺

$\overrightarrow{A_1O}:=c_0+d_0\overrightarrow{A_0O}$

と置く． $\overrightarrow{A_1O},\overrightarrow{A_1O}$ に対して

$\overrightarrow{A_1O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

で表す．

右辺

$\overrightarrow{A_2O}:=c_0\mathbf{a}_0$

$\overrightarrow{A_3O}:=d_0\mathbf{a}_0$

と置き，平行移動

$\overrightarrow{A_3O}=\overrightarrow{OO'}$

を施して和をとれば

$c_0\mathbf{a}_0+d_0\mathbf{a}_0=\overrightarrow{OO'}$

で表示することができる．たとえば $O':=A_4$ と置くと $左辺=右辺$ が成り立つ．そして，仮定はないので∀-導入可能であるから

$(c+d)\mathbf{a}=c\mathbf{a}+d\mathbf{a}$ 　　∀-導入

を得る．

(3)について

左辺

$\overrightarrow{A_1O}:=(c_0d_0)\mathbf{a}_0$

と置く．このとき $\overrightarrow{A_1O},\overrightarrow{A_1O}$ に対して

$\overrightarrow{A_1O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

を行う．

右辺

$\overrightarrow{A_2O}:=c_0(d_0\mathbf{a}_0)$

と置き， $\overrightarrow{A_2O},\overrightarrow{A_2O}$ について

$\overrightarrow{A_2O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

を施す．ここでたとえば $O':=A_3$ と置けば $左辺=右辺$ と成る．そして，仮定はないので∀-導入可能であるから

$(cd)\mathbf{a}=c(d\mathbf{a})$ 　　∀-導入

が成立する．

(4)について

$\overrightarrow{A_0O}:=1\mathbf{a}_0$

と置く．このとき $\overrightarrow{A_0O},\overrightarrow{A_0O}$ に対して

$\overrightarrow{A_0O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

である．たとえば $O':=A_0$ と置くと

$\overrightarrow{A_0O}=\overrightarrow{OA_0}$ 　i.e.　 $1\mathbf{a}_0=\mathbf{a}_0$

を成す．いま，仮定はないので∀-導入可能である．したがって

$1\mathbf{a}=\mathbf{a}$ 　　∀-導入

が成立する．

命題 1.1.9　ベクトルのスカラー倍　(1)　11項

木村俊一『(基幹講座数学)線型代数』東京図書 2018

$K：二次元平面あるいは三次元空間$

$∀\mathbf{a},\mathbf{b}［\mathbf{a},\mathbf{b}∈K］$

$∀c［c∈\mathbb{R}］$

とする．

(1)　 $c(\mathbf{a}+\mathbf{b})=c\mathbf{a}+c\mathbf{b}$

(証明の方針)

$\mathbf{a}_0:=\overrightarrow{OA_0}$ 　　∀-除去

$\mathbf{b}_0:=\overrightarrow{OB_0}$ 　　∀-除去

$c_0∈\mathbb{R}$ 　　∀-除去

に対して与式の両辺が一致することを示す．

左辺

$\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OB_0}$ に対して

$\overrightarrow{A_0B'_0}$ 　　平行移動

$\mathbf{a}_0+\mathbf{b}_0=\overrightarrow{OB'_0}$ 　　和

である．いま

$\overrightarrow{OB'_1}:=c_0\overrightarrow{(OB'_0)}$

と置けば

$左辺=c_0(\mathbf{a}_0+\mathbf{b}_0)=\overrightarrow{OB'_1}$

で表される．他方

右辺

$c_0\mathbf{a}_0=c\overrightarrow{(OA_0)}$

$c_0\mathbf{b}_0=c\overrightarrow{(OB_0)}$

に対して

$\overrightarrow{OA_1}:=c\overrightarrow{(OA_0)}$

$\overrightarrow{OB_1}:=c\overrightarrow{(OB_0)}$

と置換すれば

$\overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{A_1B'_1}$ 　　平行移動

$右辺=c_0\mathbf{a}_0+c_0\mathbf{b}_0=\overrightarrow{OB'_1}$ 　　和

のように表示できる．したがって左辺と右辺は一致する．すなわち

$c_0(\mathbf{a}_0+\mathbf{b}_0)=c_0\mathbf{a}_0+c_0\mathbf{b}_0$

である．そして仮定はないので，∀-導入可能であるから

$c(\mathbf{a}+\mathbf{b})=c\mathbf{a}+c\mathbf{b}$ 　　∀-導入

が成立する．

補題 1.1.8　逆ベクトルの一意性　11項

木村俊一『(基幹講座数学)線型代数』東京図書 2018

$K：二次元平面あるいは三次元空間$

$∀\mathbf{v}∈K∃\mathbf{w}∈K$ 　s.t.　 $\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{0}$ 　(非交換)

とする．このとき $\mathbf{w}$ は唯一つ存在する．

(証明の方針)

$\mathbf{w}_0:=\overrightarrow{V_0O}$ 　　∀-除去

$\mathbf{w}_1:=\overrightarrow{V_1O}$ 　　∀-除去

①　 $\mathbf{w}$ が1番目であることを仮定する(順序数)．このとき

$\overrightarrow{V_0O}=\overrightarrow{V_1O}$ 　　1番目は複数あっても構わない

を示す．

$\overrightarrow{V_0O},\overrightarrow{V_1O}$ に対して

$\overrightarrow{V_1O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

を行う．他方， $\overrightarrow{V_1O},\overrightarrow{V_0O}$ について

$\overrightarrow{V_0O}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

であるから

$\overrightarrow{V_0O}=\overrightarrow{V_1O}$

が成立する．仮定はないので∀-導入可能である．

②　 $\mathbf{w}$ が1個であることを仮定する(計量数)．

$∃w［w∈K］$ について $\mathbf{w}_0$ を1番目と指定すればよい．

以上より $\mathbf{w}$ が

1番目⇔1個

であることが示された．

☆唯一つ存在する基点 $O$ について $O'$ は2番目の基点と考える．

問 1.1.6　8項

木村俊一『(基幹講座数学)線型代数』東京図書 2018

$OABC：四面体$

$\mathbf{a}_0:=\overrightarrow{OA_0}$ 　　∀-除去

$\mathbf{b}_0:=\overrightarrow{OB_0}$ 　　∀-除去

$\mathbf{c}_0:=\overrightarrow{OC_0}$ 　　∀-除去

と置く．

(1)　ベクトル $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}$ をそれぞれ $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ を用いて表せ．

(証明の方針)

①　 $\overrightarrow{AB}$

　 $\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{A_0O}$ に対して

$\overrightarrow{A_0O}=\overrightarrow{A_0O'}$ 　　平行移動

$O':=B_0$

と置けば

$\overrightarrow{A_0O}=\overrightarrow{A_0B_0}$ 　i.e.　 $-\mathbf{a}_0=\overrightarrow{A_0B_0}$

で表される．仮定はないので∀-導入可能であるから

$-\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}$ 　　∀-導入

を得る．

②　 $\overrightarrow{BC}$

　 $\overrightarrow{OB_0},\overrightarrow{B_0O}$ に対して

$\overrightarrow{B_0O}=\overrightarrow{B_0O'}$ 　　平行移動

$O':=C_0$

と置けば

$\overrightarrow{B_0O}=\overrightarrow{B_0C_0}$ 　i.e.　 $-\mathbf{b}_0=\overrightarrow{B_0C_0}$

と成る．仮定はないから∀-導入可能で

$-\mathbf{b}=\overrightarrow{BC}$ 　　∀-導入

と書ける．

③　 $\overrightarrow{CA}$

　 $\overrightarrow{OC_0},\overrightarrow{C_0O}$ に対して

$\overrightarrow{C_0O}=\overrightarrow{C_0O'}$ 　　平行移動

$O':=A_0$

と置けば

$\overrightarrow{C_0O}=\overrightarrow{C_0A_0}$ 　i.e.　 $-\mathbf{c}_0=\overrightarrow{C_0A_0}$

と表示される．仮定はないから∀-導入可能で

$-\mathbf{c}=\overrightarrow{CA}$ 　　∀-導入

で書ける．

(2)　(1)で求めたものの和が零ベクトルになることを示せ．

$-\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{c}=\mathbf{0}$

をいう．

①　 $-\mathbf{a}-\mathbf{b}$

　 $-\mathbf{a}_0=\overrightarrow{A_0B_0},-\mathbf{b}_0=\overrightarrow{B_0C_0}$ に対して

$\overrightarrow{A_0C_0}=\mathbf{c}_0$

で表す．仮定はないので∀-導入可能であるから

$-\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{c}$ 　　∀-導入

と成る．

②　 $\mathbf{c}-\mathbf{c}$

$\mathbf{c}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}$

$-\mathbf{c}=\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CO}$

であるから

$\mathbf{c}_0-\mathbf{c}_0=\overrightarrow{OO}=\mathbf{0}_0$

と成る．仮定はないので∀-導入可能である．

以上より

$-\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{c}=\mathbf{0}$ 　　∀-導入

がわかる．

問 1.1.5　零ベクトルの性質　8項

木村俊一『(基幹講座数学)線型代数』東京図書 2018

$K：二次元平面あるいは三次元空間$

とする．このとき

(1)　 $∃\mathbf{0}∈K［\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}］$

(2)　 $∃\mathbf{0}∈K［-\mathbf{0}=\mathbf{0}］$

である．

(証明の方針)

$\mathbf{0}_0:=\overrightarrow{OO}$ 　　仮定

とする．

(1)について

$\overrightarrow{OO},\overrightarrow{OO}$ に対して

$\overrightarrow{OO}=\overrightarrow{OO'}$ 　　平行移動

$\mathbf{0}_0+\mathbf{0}_0=\overrightarrow{OO'}$

である．ここで

$O':=O$

と置けば

$\mathbf{0}_0+\mathbf{0}_0=\overrightarrow{OO}=\mathbf{0}_0$

を得る．したがって

$∃\mathbf{0}∈K［\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}］$ 　　∃-導入，∃-除去

が成立する．

(2)について

$\mathbf{0}_0:=\overrightarrow{OO}$

$-\mathbf{0}_0=\overrightarrow{OO}$

より $-\mathbf{0}_0=\mathbf{0}_0$ であるから

$∃\mathbf{0}∈K［-\mathbf{0}=\mathbf{0}］$ 　　∃-導入，∃-除去

が成り立つ．

命題 1.1.4　(4)　ベクトルの和に関して交換律は一般に不成立であること　6項

木村俊一『(基幹講座数学)線型代数』東京図書 2018

$K：二次元平面あるいは三次元空間$

とする．このとき

$∀\mathbf{a},\mathbf{b}∈K［\mathbf{a}+\mathbf{b}≠\mathbf{b}+\mathbf{a}］$

である．

(証明の方針)

$\mathbf{a}_0:=\overrightarrow{OA_0}$ 　　∀-除去

$\mathbf{b}_0:=\overrightarrow{OB_0}$ 　　∀-除去

とする．このとき $\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OB_0}$ に対して

$\overrightarrow{OB_0}=\overrightarrow{A_0B'_0}$ 　　平行移動

$\mathbf{a}_0+\mathbf{b}_0=\overrightarrow{OB'_0}$

である．一方 $\overrightarrow{OB_0},\overrightarrow{OA_0}$ について

$\overrightarrow{OA_0}=\overrightarrow{B_0A'_0}$ 　　平行移動

$\mathbf{b}_0+\mathbf{a}_0=\overrightarrow{OA'_0}$

と成る．これらは仮定に依存していないので，直ちに∀-導入可能である．したがって

$∀\mathbf{a},\mathbf{b}∈K［\mathbf{a}+\mathbf{b}≠\mathbf{b}+\mathbf{a}］$

を得る．

☆　 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}$ が成立するのは $A'_0=B'_0$ のときに限る．すなわち $A_0=B_0$ である．