日記

命題 1.1.4　ベクトルの和の基本的な性質 (1) 結合律　6項

木村俊一『(基幹講座数学)線型代数』東京図書 2018

$A_0,B_0,C_0：点(パラメタ)$

$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}：ベクトル(束縛変数)$

$\mathbf{a}_0,\mathbf{b}_0,\mathbf{c}_0：パラメタ$

$K：二次元平面あるいは三次元空間$

とする．このとき結合律

$∀\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}∈K［(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})］$

が成立する．

(証明の方針)

$\mathbf{a}_0:=\overrightarrow{OA_0}$

$\mathbf{b}_0:=\overrightarrow{OB_0}$

$\mathbf{c}_0:=\overrightarrow{OC_0}$

を選ぶ(∀-除去)．このとき

$(\mathbf{a}_0+\mathbf{b}_0)+\mathbf{c}_0=\mathbf{a}_0+(\mathbf{b}_0+\mathbf{c}_0)$

について両辺が一致することを示す．

①　 $(\mathbf{a}_0+\mathbf{b}_0)+\mathbf{c}_0$ について

$\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OB_0}$ に対して次のような平行移動

$\overrightarrow{OB_0}=\overrightarrow{A_0B'_{0}}$

をし和をとる．すなわち

$\mathbf{a}_0+\mathbf{b}_0=\overrightarrow{OB'_0}$

である．そして

$\overrightarrow{OB'_0},\overrightarrow{OC_0}$ に対して再び平行移動

$\overrightarrow{OC_0}=\overrightarrow{B'_0C'_0}$

を考えると和の定義より

$\mathbf{a_0+b_0+c_0}=\overrightarrow{OC'_0}$

と表示できる．

②　 $\mathbf{a}_0+(\mathbf{b}_0+\mathbf{c}_0)$ について

　①と同様の操作を行う． $\overrightarrow{OB_0},\overrightarrow{OC_0}$ に対して平行移動 $\overrightarrow{OC_0}=\overrightarrow{B_0C'_0}$ をして和をとると

$\mathbf{b_0+c_0}=\overrightarrow{OC'_0}$

と表される．さらに $\overrightarrow{OA_0},\overrightarrow{OC'_0}$ に対して，以下のような平行移動 $\overrightarrow{OC'_0}=\overrightarrow{A_0C''_0}$ をして和をとると

$\mathbf{a_0+b_0+c_0}=\overrightarrow{OC''_0}$

と成る．ここでベクトルの平行移動の性質より $C'_0=C''_0$ であるから

$\mathbf{a_0+b_0+c_0}=\overrightarrow{OC'_0}=\overrightarrow{OC''_0}$

と書け，∀-導入可能である．したがってベクトルの結合律

$∀\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}∈K［(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})］$

が成り立つ．