日記

命題 1.1.4　(3)　逆ベクトル　6項

木村俊一『(基幹講座数学)線型代数』東京図書 2018

$K：二次元平面あるいは三次元空間$

$∀\mathbf{v}∈K∃\mathbf{w}∈K［\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{w}+\mathbf{v}=\mathbf{0}］$

(ア)　 $\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{w}+\mathbf{v}$

(イ)　 $\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{0}$

が成立する．

(証明の方針)

$\mathbf{v}_0:=\overrightarrow{OV_0}$ 　　∀-除去

$\mathbf{w}_0:=\overrightarrow{V_0O}$ 　　仮定

$\mathbf{0}_0:=\overrightarrow{OO}$ 　　仮定

とする．

(イ)について

$\overrightarrow{OV_0},\overrightarrow{V_0O}$ に対して，平行移動 $\overrightarrow{V_0O}=\overrightarrow{V_0O'}$ をして和を

$\mathbf{v}_0+\mathbf{w}_0=\overrightarrow{OO'}$

で表す．ここで $O':=O$ と置けば

$\mathbf{v}_0+\mathbf{w}_0=\overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{OO}=\mathbf{0}_0$

したがって

$\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{0}$ 　　∃-導入，∃-除去，∀-導入

が成立する．

(ア)について

　一方， $\overrightarrow{V_0O},\overrightarrow{OV_0}$ について

$\overrightarrow{OV_0}=\overrightarrow{OV'_0}$ 　　平行移動

$\mathbf{w}_0+\mathbf{v}_0=\overrightarrow{OV'_0}$ 　　和

いま(ア)の $\mathbf{v}_0+\mathbf{w}_0=\overrightarrow{OO'}$ に関して

$O':=V'_0$

と置けば

$\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{w}+\mathbf{v}$ 　　∃-導入，∃-除去，∀-導入

を得る．

結果

$\mathbf{v}_0:=\overrightarrow{OV_0}$ 　　∀-除去

$\mathbf{w}_0:=\overrightarrow{V_0O}$ 　　仮定

$\mathbf{0}_0:=\overrightarrow{OO}$ 　　仮定

のとき

$\mathbf{v}_0+\mathbf{w}_0=\overrightarrow{OO'}$ より

$\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{w}+\mathbf{v}$ 　　条件( $O':=V'_0$ )

$\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{0}$ 　　条件( $O':=O$ )

である．もし(ア)と(イ)を両立させたければ $V_0=O$ の場合を考える．しかし，それは $\mathbf{v}_0=\mathbf{w}_0=\mathbf{0}_0$ を意味するに過ぎない．また

$\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{0}$

が成り立つとき， $\mathbf{w}$ を $-\mathbf{v}$ で表す．