日記

電磁気学に必要な数学　偏微分　5項

竹川敦『(マクスウェル方程式で学ぶ)電磁気学入門』裳華房 2022

$a_0,a_1,...,b_0,b_1,......：パラメタ$

とする．このとき，関数 $f:=f(x,y,z)$ に対して

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}$

をそれぞれ計算せよ．

(1)　 $f:=5x^2yz^3-6xz+4y+8$

(2)　 $f:=6z^3-4\sin x+4xy+5y^2$

(解答の方針)

(1)について

$f:=5x_{0}^2y_0z_{0}^3-6x_0z_0+4y_0+8$ 　　∀-除去

①　 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_0}=10x_0y_0z_{0}^3-6z_0$

仮定はないので∀-導入可能であるから

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=10xyz^3-6z$ 　　∀-導入

を得る．

②　 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y_0}=5x_{0}^2z_{0}^3+4$

仮定はないので∀-導入可能であるから

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=5x^2z^3+4$ 　　∀-導入

である．

③　 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z_0}=15x_{0}^2y_0z_{0}^2-6x_0$

仮定はないので∀-導入可能であるから

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}=15x^2yz^2-6x$ 　　∀-導入

と書ける．

(2)について

$f:=6z_{0}^3-4\sin x_0+4x_0y_0+5y_{0}^2$ 　　∀-除去

①　 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_0}=-4\cos x_0+4y_0$

仮定はないので∀-導入可能であるから

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=-4\cos x+4y$ 　　∀-導入

である．

②　 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y_0}=4x_0+10y_0$

仮定はないので∀-導入可能であるから

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=4x+10y$ 　　∀-導入

を得る．

③　 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z_0}=18z_{0}^2$

仮定はないので∀-導入可能であるから

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}=18z^2$ 　　∀-導入

で表される．